Народився 12 травня 1970 року в Дніпропетровську (нині – Дніпро) в родині лікарів.
Після закінчення училища служив на посадах командира взводу, роти, батальйону. Протягом 2011–2015 років командував 17-ю окремою танковою бригадою (м. Кривий Ріг Дніпропетровської області), бувши також начальником Криворізького гарнізону. Брав участь в Антитерористичній операції на Донбасі.
Станом на жовтень 2015 року полковник Тарнавський був заступником командувача оперативного командування (ОК) «Схід» по територіальної обороні.
У 2018–2019 роках служив на посаді начальника управління підготовки – заступника командувача військ ОК «Схід» з підготовки.
Далі обіймав посаду начальника Управління морально-психологічного забезпечення підготовки та застосування військ (сил) – заступника начальника Головного управління морально-психологічного забезпечення Збройних Сил України (кінець 2019–2020).
З кінця 2021 року – командир оперативно-тактичного угруповання «Схід» у зоні ООС.
10 грудня 2021 року Олександра Тарнавського підвищили до звання бригадного генерала.
Велике вторгнення російських військ 24 лютого 2022 року Олександр Тарнавський зустрів на посаді начальника штабу – заступника командувача військ ОК «Схід».
Невдовзі Тарнавський змінив генерал-майора Олега Мікаца (командувач ОК «Схід» з 2021 року) на посаді командира оперативного угруповання військ «Слобода», яке зупинило наступ російських військ на Харківщині.
У жовтні 2022 року генерал Тарнавський очолив новосформоване оперативно-стратегічне угруповання військ (ОСУВ) «Херсон» і керував звільненням міста й області. У грудні ОСУВ дістало нове найменування «Таврія». Протягом 2023 року війська ОСУВ «Таврія» здійснювали контрнаступ у Запорізькій області, внаслідок чого звільнили Роботине та розвинути наступ південніше Великої Новосілки. З грудня 2023 до лютого 2024 року частина сил ОСУВ обороняла Авдіївку.
Одночасно у 2023 році Тарнавський командував ОК «Схід». Звільнений з цієї посади в лютому 2024-го внаслідок кадрових перестановок у зв’язку зі зміною Головнокомандувача ЗСУ. На його місце прийшов бригадний генерал Андрій Гнатов, а генерал Тарнавський продовжував керувати ОСУВ «Таврія».
12 грудня 2024 року, за даними ЗМІ, Олександр Тарнавський дістав посаду командувача оперативно-тактичного угрупування «Донецьк» замість генерала Олександра Луценка.
Журналісти, яким удалося поспілкуватися з Тарнавським, розповідають, що він цурається публічності та рідко дає інтерв’ю. Водночас вирізняється простотою, лаконічністю та «властивою військовим приземленістю». З підлеглими – жорстокий і вимогливий, не терпить лицемірства й підлабузництва.
Тарнавський входив до складу громадської ради Кривого Рогу з підтримки мера Олександра Вілкула (грудень 2014 року). На місцевих виборах у жовтні 2015 року балотувався до Криворізької міської ради за списками партії «Наш Край».
Генерал Тарнавський відомий тим, що керував операцією зі звільнення Херсона
14 грудня 2024 Читати Дві третини боїв усього фронту відбуваються в зоні відповідальності «Таврії»Минулої доби там сталося 45 бойових зіткнень
9 березня 2024 Читати Сили оборони подекуди відновлюють втрачені позиції на Авдіївському напрямку – ТарнавськийКомандувач зазначив, що армія рф має значну перевагу в боєприпасах і нарощує чисельність штурмових груп
1 березня 2024 Читати ЗСУ стабілізували лінію оборони в районах сіл Тоненьке, Орлівка та Бердичі – ТарнавськийКомандувач також додав, що ворожі спроби наступу в районах Новомихайлівки та Роботиного не мали успіху
27 лютого 2024 Читати Тарнавський: під час виходу з Авдіївки декілька бійців потрапили в полонТриває пожежа на Авдіївському коксохімі, де російські терористи внаслідок обстрілів підпалили цистерну із нафталіном
16 лютого 2024 Читати В Авдіївці немає заблокованих українських підрозділів – ТарнавськийЗа словами командувача «ворог штурмує місто одночасно з декількох напрямків, відбувається планове підсилення підрозділів ЗСУ»
16 лютого 2024 Читати ЗСУ відійшли з позиції «Зеніт» на південно-східній околиці Авдіївки – ТарнавськийКомандувач додав, що рішення ухвалили задля збереження особового складу та поліпшення оперативної обстановки
16 лютого 2024 Читати Сирський направив на оборону Авдіївки найкраще підготовлені резерви ЗСУ — ForbesУкраїнські війська вирішили залишитися і боротися, що становить для Києва «величезний ризик», зазначає видання
13 лютого 2024 Читати Експерти: якщо протягом доби не буде кардинальних рішень щодо Авдіївки, ситуація стане гіршою, ніж із БахмутомПроте більша частина поранень і смертей росіян зараз відбувається через дрони-камікадзе
12 лютого 2024 Читати Оборонці збили російський гвинтокрил Ка-52 «Алігатор»Гелікоптер разом з екіпажем уразили з переносного зенітно-ракетного комплексу на Авдіївському напрямку
8 лютого 2024 Читати