Народився 8 серпня 1983 року в Києві. Батько Володимир Кулеба – журналіст і письменник.
З січня по листопад 2005 року Олексій Кулеба працював менеджером комунального підприємства Київської обласної ради «Київ-Медіа».
Має чималий досвід підприємницької діяльності: генеральний директор ТОВ «Хонін і партнери» (2007–2010), директор київських фірм «Асоціація корпоративного маркетингу» (2013–2019), та «Asper Естейт» (2018–2019).
Окрім того, Кулеба займався викладацькою діяльністю як старший викладач кафедри організації самоврядування у Міжрегіональній академії управління персоналом (2010–2011) та старший викладач кафедри політології Національного педагогічного університету ім. М. Драгоманова (2015–2016).
У 2016-2017 роках був радником (на громадських засадах) гендиректора КП з охорони, утримання та експлуатації земель водного фонду м. Києва «Плесо» виконавчого органу Київської міської ради.
У 2001 році заснував громадську організацію «Школа баскетболу», яку очолював до 2019 року.
У політику Олексій Кулеба прийшов у 2006 році як помічник народного депутата Михайла Гладія, ким пропрацював до 2007 року. Протягом 2010–2015 років він був дептутатом Ржищівської міської ради на Київщині від партії «Єдиний Центр». Одночасно працював помічником депутата Київської міської ради на громадських засадах (2014–2015).
З листопада 2019 до 2020 року обіймав посаду директора Департаменту міського благоустрою КМДА.
1 січня 2021 році Київський міський голова Віталій Кличко призначив Олексія Кулебу своїм першим заступником з питань здійснення самоврядних повноважень.
На цій посаді він працював до 8 лютого 2022 року, коли його вперше призначили головою Київської обласної державної адміністрації. 15 березня Кулебу звільнили, але 21 травня призначили на посаду повторно.
Тим часом він встиг покерувати групою позаштатних радників начальника Київської обласної військової адміністрації Миколи Жирнова.
З 24 січня 2023 року – заступник керівника Офісу Президента України замість Кирила Тимошенка. В ОП займався регіональною політикою.
5 вересня 2024 року Верховна Рада призначила Олексія Кулебу віце-прем’єр-міністром з відновлення України – міністром розвитку громад та територій України.
Одружений з адвокатом Галиною Дмитриченко-Кулебою. Подружжя виховує двох дочок.