Народився 28 листопада 1979 року в Києві.
Перші 10 років Матвій Бідний присвятив спорту: працював тренером на київському дочірньому підприємстві «Фаворит-С» (2001–2009), відтак керував фітнес-клубом підприємства (2009–2011).
Виступав на змаганнях в складі Національної збірної України з боді-білдингу (1999–2004). Чемпіон України у 2000–2002 роках, срібний призер чемпіонату світу з боді-білдингу серед юніорів у Дубаї, ОАЕ (2000).
У 2005–2008 роках Бідний був учасником спортивно-розважальної програми «Ігри патріотів» на телеканалі «Інтер» (2005).
Далі Бідний перейшов у менеджмент. Коротко пробувши помічником керівника юридичної компанії «Сетра» (2011), він з 2011 до 2015 року обіймав посаду менеджера з продажу ТОВ «ФірмаІСТ». У 2015–2016 роках працював менеджером з автоперевезень дочірнього підприємства «ІСТФРАХТ».
У сферу політики Матвій Бідний потрапив у 2006-му, ставши помічником-консультантом народного депутата 5-го скликання від Блоку Юлії Тимошенка Андрія Портнова (майбутнього першого заступника голови Адміністрації Президента в часи президентства Віктора Януковича) на громадських засадах (до 2017 року).
Удруге помічником надепа Бідний став у 2016 році. За той рік він стрімко піднявся на посадах державної служби: спершу як головний спеціаліст відділу пріоритетних неолімпійських видів спорту Департаменту фізичної культури та неолімпійських видів спорту Міністерства молоді та спорту України, відтак – як директор цього департаменту.
15 липня 2020 року Бідного призначили заступником міністра молоді та спорту України.
Тимчасово виконував обов’язки міністра молоді та спорту після відставки Вадима Гутцайта 9 листопада 2023 року.
Одружений вдруге на Вікторії Дашутіній. За даними ЗМІ, вона є донькою колишнього народного депутата від Партії регіонів Григорія Дашутіна, підозрюваного в пособництві рф через співпрацю його бізнесу з російським військово-промисловим комплексом після 2014 року та після великого вторгнення.
З першою дружиною Інною Бідний розлучився у 2019 році. Діти: донька Ангеліна та сини Родіон і Артур.